فايل دانشگاهی – توسعه مدل جدیدی برای پیش بینی قابلیت اعتماد محصولات بر اساس رویکرد …

شکل ‏۴-۳- نمودار تغییرات پارامتر   در حالت n=100
در این دو شکل نمودار قرمز رنگ مربوط به توزیع پیشین گاما، نمودار سبز رنگ مربوط به توزیع پیشین نمایی و نمودار آبی متعلق به توزیع پیشین گامای معکوس است. با توجه به این نمودارها می‌توان مشاهده کرد که هرچه پارامتر توزیع های پیشین که بر اساس میانگین α حاصل از محصولات قبلی بدست آمده، افزایش یابد مقدار برآورد α نیز افزایش می‌یابد ولی این افزایش به صورت خطی نخواهد بود و بر اساس روابط (۴-۱۲)، (۴-۱۷) و (۴-۲۱) به صورت غیر خطی است. این وضعیت برای هر دوحالت n=10 وn=100 وجود دارد و در شکل ۴-۳ بهتر نشان داده شده است. نکته‌ی قابل توجه این است که رابطه‌ی میزان برآورد α با مجموع طول عمرها رابطه‌ای خطی است زیرا α با میانگین طول عمر رابطه خطی دارد.
در ادامه به بررسی نمودار قابلیت اعتماد محصول می‌پردازیم. برای بررسی قابلیت اعتماد دو حالت در نظر گرفته شد. در حالت اول زمان را ثابت در نظر می‌گیریم. به عنوان مثال برای t=100 و n=10 نمودار قابلیت اعتماد بر اساس مقدار میانگین پارامتر α برای سه توزیع پیشین در نظر گرفته شده، رسم شد. شکل ۴-۴ این نمودارها را نشان می‌دهد.
شکل ‏۴-۴- نمودار تغییرات قابلیت اعتماد برای t=100 بر اساس مقدار میانگین پارامتر α در حالت n=10
در شکل ۴-۴ پنج نمودار رسم شده است. نمودار مشکی مربوط به قابلیت اعتماد محصول جدید تنها بر اساس داده‌های خرابی محصولات گذشته است. این حالت برای زمانی است که هیچ اطلاعی از محصول جدید در اختیار نیست. همان‌طور که ملاحظه می‌شود این نمودار از دقت بالایی برخوردار نمی‌باشد چراکه صرفاً بر پایه اطلاعات گذشته بنا شده است. نمودار زرد مربوط به حالتی است که پارامتر α بر اساس داده‌های خرابی چند ماهه‌ی محصول جدید و به روش حداکثر درستنمایی برآورد شده است. در نهایت نمودارهای سبز، قرمز و آبی مربوط به حالتی است که پارامتر α به روش برآوردگر بیز بر اساس اطلاعات محصولات گذشته و همچنین داده‌های خرابی چند ماهه‌ی محصول جدید بدست آمده است. به عبارتی ترکیبی از اطلاعات گذشته و فعلی در نظر گرفته شده است. در این شکل نمودار سبز متعلق به توزیع پیشین گاما، نمودار قرمز توزیع نمایی و نمودار آبی مربوط به توزیع پیشین گامای معکوس می‌باشد.
با توجه به شکل ۴-۴ ملاحظه می‌شود که تفاوت قابل توجهی بین نمودارهای زرد و مشکی وجود دارد. بنابراین می‌توان به این نتیجه رسید که در نظر نگرفتن اطلاعات فعلی منجر به تخمین نادرستی از قابلیت اعتماد محصول می‌شود چرا که تنها به داده‌های اندک موجود اکتفا می‌کند. سوالی که در این‌جا مطرح می‌شود این است که چگونه می‌توان از اطلاعات گذشته در برآورد پارامترها استفاده کرد؟ پاسخ این سوال با توجه به محاسبات گذشته، استفاده از برآوردگر بیز در تخمین پارامتر α است. در این حالت از اطلاعات گذشته برای برازش توزیع پیشین به پارامتر مقیاس توزیع وایبال استفاده می‌شود تا نتایج منطقی‌تری بدست آید.
دلیل آن‌که نتایج حاصل از برآورد به روش بیز را منطقی می‌نامیم این است که با توجه به نرخ خرابی‌های محصولات گذشته انتظار می‌رود گزارش‌های خرابی محصول جدید بعد از گذشت زمان بیشتر شود زیرا از محصولی که تازه به بازار معرفی شده اطلاعات خرابی کمتری در دست است و در مورد بقیه محصولات به دلیل سانسور زمان تا زمان انجام محاسبات دچار خرابی نشده‌اند و انتظار داریم با گذشت زمان گزارش‌های خرابی بیشتری از محصول جدید دریافت شود. بنابراین تخمین قابلیت اعتماد بر اساس داده‌های خرابی چند ماه محصول تازه معرفی شده به بازار بدون در نظر گرفتن اطلاعات گذشته نتیجه‌ی قابل قبولی نمی‌دهد چراکه انتظار می‌رود بعد از گذشت مدت زمان طولانی‌تری با خرابی‌های بیشتری مواجه شویم.
حالت n=100 در شکل ۴-۵ نشان داده شده است و بیانگر آن است که نتایج حاصل از n=10 برای این حالت نیز صدق می‌کند.
R(100)
شکل ‏۴-۵- نمودار تغییرات قابلیت اعتماد برای t=100 بر اساس مقدار میانگین پارامتر α در حالت n=100
در حالت دوم نمودار قابلیت اعتماد در حالت کلی‌تری رسم شده است. در این حالت تغییرات قابلیت اعتماد بر اساس تغییرات زمان و تغییرات مقدار میانگین پارامتر α محصولات قبل و n=10 در شکل ۴-۶ و برای n=100 در شکل ۴-۷ آمده است.
شکل ‏۴-۶- نمودار تغییرات قابلیت اعتماد بر اساس مقدار میانگین پارامتر α و زمان در حالت n=10 و β= ۲
شکل ‏۴-۷- نمودار تغییرات قابلیت اعتماد بر اساس مقدار میانگین پارامتر α و زمان در حالت n=100 و β= ۲
مشاهده می‌شود با افزایش t مقدار قابلیت اعتماد کاهش می‌یابد و این کاملاً بدیهی است و این نمودارها نیز آن را تایید می‌کند. همچنین نتایج حاصل از نمودارهای یک بعدی شکل‌های ۴-۴ و ۴-۵ نیز در این حالت قابل مشاهده است.

بررسی حالتی که پارامتر β مقادیر مختلفی دارد

تا این‌جا هر جا محاسباتی صورت گرفته است فرض بر این بوده که مقدار پارامتر =۲β باشد. به عبارتی اطلاعات محصولی در نظر گرفته شد که پارامتر شکل توزیع وایبال آن برابر۲ بوده است. در ادامه به بررسی حالاتی می‌پردازیم که این پارامتر مقادیر مختلفی به خود بگیرد. برای سادگی محاسبات تنها برای حالت n=10 ارائه می‌شود که برای حالت n=100 و همچنین انواع داده‌ها از نظر کامل یا سانسورشده قابل تعمیم است. قبل از بررسی این نمودارها توضیحی در مورد نقش پارامترβ در توزیع وایبال ارائه می‌دهیم.
همان‌طور که از خصوصیات توزیع وایبال می‌دانیم، پارامترβ بیان‌گر نرخ خرابی موجود است. اگر β<1 باشد، محصول دارای نرخ خرابی کاهشی است یعنی با گذشت زمان میزان خرابی محصول کاهش می‌یابد. اگر β>1 باشد، محصول دارای نرخ خرابی افزایشی است به عبارتی محصول مستهلک می‌شود. خرابی قطعات مکانیکی عموماً از این نوع می‌باشد. نهایتاً اگر β=۱ باشد، توزیع وایبال به توزیع نمایی تبدیل شده و در واقع نرخ خرابی محصول ثابت است و خرابی آن به شُک‌های ناگهانی وابسته است نه به گذشت زمان.
شکل‌های ۴-۸ تا ۴-۱۱ و همچنین شکل ۴-۶ نمودار قابلیت اعتماد محصول برای βهای مختلف را نشان می‌دهد.
شکل ‏۴-۸- نمودار تغییرات قابلیت اعتماد برای بر اساس مقدار میانگین پارامتر α و زمان در حالت n=10 و β= ۰/۵
شکل ‏۴-۹- نمودار تغییرات قابلیت اعتماد برای بر اساس مقدار میانگین پارامتر α و زمان در حالت n=10 و β= ۱
شکل ‏۴-۱۰- نمودار تغییرات قابلیت اعتماد برای بر اساس مقدار میانگین پارامتر α و زمان در حالت n=10 و β= ۱/۵
شکل ‏۴-۱۱- نمودار تغییرات قابلیت اعتماد برای بر اساس مقدار میانگین پارامتر α و زمان در حالت n=10 و β= ۳
از آن‌جا که برای β=۳ وقتی بازه t تا ۲۰۰ واحد زمان انتخاب شود نمودارها به خوبی نشان داده نمی‌شود و دلیل آن قابلیت اعتماد کم در tهای بزرگ است، این نمودار را تا t=100 واحد زمان در شکل ۴-۱۲ رسم شده است.
شکل ‏۴-۱۲- نمودار تغییرات قابلیت اعتماد برای بر اساس مقدار میانگین پارامتر α و زمان در حالت n=10 و β= ۳ وقتی بازه t کمتر شود
با توجه به نمودارهای رسم شده، این نکته قابل ذکر است که برای βهای مختلف نیز نتایج بخش ۴-۹ تایید می‌گردد و آن‌چه به عنوان نتیجه مدل با توجه به رویکرد بیز بیان شد، برای βهای مختلف نیز قابل تعمیم است.

مثال عددی

مثالی که برای بررسی نتایج بدست آمده در بخش‌های قبلی مورد مطالعه قرار می‌گیرد به شرح زیر است. فرض می‌کنیم داده‌های خرابی چند ماه مربوط به محصولی که تازه به بازار معرفی شده، در اختیار است. در حالت اول فرض می‌کنیم دو سری داده در دسترس داریم؛ یکی داده‌های کامل از طول عمر ۱۰ موجود و دیگری داده‌های سانسور شده‌ مربوط به ۱۵ موجود که اطلاعات خرابی ۵ تا از آن‌ها دارای سانسور زمان است به عبارتی در t=180 واحد زمان جمع‌آوری داده‌ها متوقف می‌شود. فرض می‌کنیم نرخ خرابی محصولات از توزیع وایبال با پارامتر =۲β و پارامتر α نامعلوم پیروی می‌کند. به روش تابع حداکثر درستنمایی که در پیوست IV توضیح داده شده و با توجه به زمان تا خرابی محصولات می‌توان پارامتر α را در حالت اول (برای داده‌ی کامل) از رابطه‌ی (۴-۲۵) و در حالت دوم (برای داده‌ی سانسور شده) از رابطه‌ی (۴-۲۶) برآورد کرد. در این رابطه n تعداد کل موجودات و r تعداد موجوداتی است که قبل از زمان سانسورشدگی دچار خرابی شده‌اند.
(‏۴-۲۵)
(‏۴-۲۶)
با توجه به تعداد کم داده‌های در دسترس این برآورد نمی‌تواند از دقت بالایی برخوردار باشد. آنچه در این پایان‌نامه مورد بررسی قرار گرفت، استفاده از روش بیز و به کارگیری اطلاعات محصولات قبل به منظور دستیابی به برآورد دقیق‌تری از پارامتر مقیاس توزیع وایبال و همچنین پیش‌بینی صحیح‌تری از قابلیت اعتماد محصولات جدید می‌باشد.
در مورد این محصول، اطلاعات طول عمر ۱۰ نسل از محصولات قبلی نیز در اختیار است. بر این اساس می‌توان پارامتر مقیاس این محصولات را برآورد کرد. به عبارتی تعداد ۱۰ پارامتر α داریم که می‌توان توزیع‌های پیشین متفاوتی بر اساس نظرات خبره به آن‌ها برازش داد. نکته‌ی مهم در این رابطه تخمین پارامترهای توزیع‌های پیشین است که در قسمت بعد به این موضوع می‌پردازیم.

تخمین پارامترهای توزیع پیشین α

در این قسمت به بحث مهم تخمین پارامترهای توزیع‌های پیشین می‌پردازیم. همان‌طور که بیان شد، فرض می‌کنیم توزیع در نظر گرفته شده برای پارامتر α به وسیله میانگین مقادیر α محصولات گذشته برآورد شود. بر این اساس و با توجه به نظره خبره پارامترهای توزیع‌های پیشین α را برآورد می کنیم. اگر میانگین α را با   نشان داده و همچنین میانگین توزیع پیشین α را نیز با   نشان دهیم، آن‌گاه رابطه‌ی زیر برقرار باشد
(‏۴-۲۷)
برای توزیع نمایی تخمین پارامتر λ بسیار ساده است، چراکه این توزیع تنها دارای یک پارامتر بوده و میانگین توزیع برابر خود پارامتر یعنی λ می‌شود. بنابراین به راحتی پارامتر توزیع نمایی با استفاده از رابطه‌ی   محاسبه می‌شود.
اما برای توزیع‌هایی که بیش از یک پارامتر دارند، باید با کمک نظره خبره این تخمین صورت گیرد. در این‌جا از روش ارائه شده توسط یاداو و همکارانش [۳۵] استفاده می‌کنیم. این روش بدین صورت است که با توجه به رابطه‌ی (۴-۲۷) یکی از پارامترهای توزیع را بر اساس پارامتر دیگر و   بدست می‌آوریم. سپس از خبره درخواست می‌شود تا نظرش را در مورد دو مقدار نرخ خرابی و یا به صورت مستقیم مقدار پارامتر مقیاس توزیع نرخ خرابی محصول، α، بیان کند. این دو مقدار حد بالا و پایین برای پارامتر α می‌باشند به طوری‌که رابطه‌ی
(‏۴-۲۸)
برقرار باشد. رابطه‌ی فوق را می‌توان به فرم زیر تبدیل کرد
(‏۴-۲۹)
در این رابطه p₀ ، بیانگر میزان اطمینان تحلیل‌گر در مورد صحت مقدار پارامتر α است و عموماً دارای مقداری برابر با ۹۰/۰، ۹۵/۰ یا ۹۹/۰ می‌باشد. با توجه به رابطه‌ی فوق یکی از پارامترها به صورت مستقیم بدست می‌آید و پارامتر دیگر با کمک رابطه‌ی (۴-۲۷) محاسبه می‌شود.

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت zusa.ir مراجعه نمایید.